音乐旋律中的定量规律

• 地震强度与发生概率形成幂律关系；（左上图）
• 蛋白质相互作用网络（配对数）形成幂律关系；（右上图）
• 同一部电影中合作演员数形成幂律关系；（左下图）
• 个人财富（美国）形成幂律关系。（右下图）

瑞士联邦理工大学实验地质系主任许靖华教授研究了半音为单位的音乐旋律相邻音符的变化，发现概率密度函数是幂函数。如下图所示：

为什么音乐旋律服从幂律关系？根据作曲理论，发现旋律的三个数学特征并推导出幂律关系，取得了重要进展。

旋律的第一个数学特征：大量重复以及高度统一的组织使得旋律音程分布为稳态分布。音乐作品中的动机和主题的展开像胚芽生长，不是叶片和茎秆的相加总和，使整个音乐作品成为具有逻辑性、连贯性、统一性的生命体。

旋律的第二个数学特征：旋律曲线具有明显的波动特征，级进进行在旋律创作中大量使用。旋律音程分为狭和广两种（狭音程有同度、二度、三度，广音程有四度、五度、六度、七度、八度）。狭音程应用多，广音程应用少，二度称为级进，而大于三度称为跳进。级进是较长旋律连接的调节者，有利于追求旋律的线条波动，是旋律写作的结构原则和推动旋律进行的重要手段，使得旋律流动更加均匀平稳。由此定义的旋律曲线光滑性趋于一较小常数“旋律光滑吸引子”。

旋律的第三个数学特征：各种音程的特性各异，随着音乐的进行，旋律需要得到足够充分的发展。主调音乐是“发展的变奏”，乐曲的“胚芽”是基本动机，通过重复来运用,可以是精确的、变化的和发展的。有变化的重复通过变奏产生,可克服精确重复带来的单调。在旋律变奏中的回绕、填充、变形、加花、扩张、紧缩、倒转、逆行和摄取等手法，形成新的素材，使更多的对比和冲突得以体现，呈现出更立体的形象和更丰富的含义。不同的音程发展出富有变化的音乐语言，各种旋律音程需要充分混合使用，从而使得“音程熵”最大。

综合以上三式，便可以建立如下数学模型：

求解过程如下，我们可以最终推导出调性音乐的旋律音程逆累积概率分布函数服从幂律：

现代主义音乐主要代表勋伯格提出的十二音体系无调性音乐，不符合幂律！

随后，管晓宏院士提出了本报告的第二个问题：没有受过专业音乐训练的非音乐人为什么喜欢优美的旋律？或者说，是否符合旋律变化、符合幂律的音乐更能使人产生愉悦感？这个问题的答案需要脑科学、生物医学实验证明。这个问题也是管晓宏院士目前在和王小勤教授合作研究的课题之一。